【题目】已知,点
在
轴上,点
在
轴上,且
,
,当点
在
轴上运动时,动点
的轨迹为曲线
.过
轴上一点
的直线交曲线
于
,
两点.
(1)求曲线的轨迹方程;
(2)证明:存在唯一的一点,使得
为常数,并确定
点的坐标.
【答案】(1) (2)证明见解析;
.
【解析】
(1)根据题意,画出几何图形,设,由几何关系可知
,结合点的坐标即可求得
的关系,化简即可求得曲线
的轨迹方程;
(2)由点在
轴上,可设
,设出过点
的直线方程为
,联立抛物线方程,并由两点间距离公式表示出
,并代入
中化简即可求得常数
的值,即可确定点
的坐标.
(1)根据题意可知,,点
在
轴上,点
在
轴上,且
,
,画出几何关系如下图所示:
设,
为
中点,
因为在
轴上,所以点
的横坐标为
,
由等腰三角形三线合一可知,
即,展开化简可得
,
所以曲线的轨迹方程为
.
(2)证明:点为
轴上一点,设
,
则过点的直线方程为
,交抛物线
于
,
两点.
则,化简变形可得
,
所以,
由两点间距离公式可得,
,
所以
将
代入化简可得
,
所以当时
为常数,且
,
此时.
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【题目】下列说法正确的是( )
A.命题“若,则
”的否命题为:“若
,则
”
B.命题“存在,使得
”的否定是:“对任意
,均有
”
C.命题“角的终边在第一象限角,则
是锐角”的逆否命题为真命题
D.已知是
上的可导函数,则“
”是“
是函数
的极值点”的必要不充分条件
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【题目】如图,在边长等于2正方形中,点Q是
中点,点M,N分别在线段
上移动(M不与A,B重合,N不与C,D重合),且
,沿着
将四边形
折起,使得二面角
为直二面角,则三棱锥
体积的最大值为________;当三棱锥
体积最大时,其外接球的表面积为________.
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【题目】已知数列是公差为1的等差数列,
是单调递增的等比数列,且
,
,
.
(1)求和
的通项公式;
(2)设,数列
的前
项和
,求
;
(3)若数列的前
项积为
,求
.
(4)数列满足
,
,其中
,
,求
.
(5)解决数列问题时,经常需要先研究陌生的通项公式,只有先把通项公式研究明白,然后尽可能转化为我们熟悉的数列问题,由此使问题得到解决.通过对上面(2)(3)(4)问题的解决,你认为研究陌生数列的通项问题有哪些常用方法,要求介绍两个.
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【题目】如图,在四边形中,
,以
为折痕把
折起,使点
到达点
的位置,且
.
(1)证明:平面
;
(2)若为
的中点,二面角
等于60°,求直线
与平面
所成角的正弦值.
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【题目】已知动圆过点
且与直线
相切.
(1)求圆心的轨迹
的方程;
(2)过的直线与
交于
,
两点,分别过
,
做
的垂线,垂足为
,
,线段
的中点为
.
①求证:;
②记四边形,
的面积分别为
,
,若
,求
.
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【题目】甲、乙、丙三位同学在一项集训中的40次测试分数都在[50,100]内,将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图,如图所示,记甲、乙、丙的分数标准差分别为s1,s2,s3,则它们的大小关系为( )
A.s1s2
s3B.s1
s3
s2
C.s3s1
s2D.s3
s2
s1
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