Question

【题目】已知四棱锥中，面面，底面为矩形，且，，，O为的中点，点E在上，且．

（1）证明：；

（2）在上是否存在一点F，使面，若存在，试确定点F的位置．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）存在F为PB的三等分点(靠近点B)，证明见解析

【解析】

（1）连接，利用勾股定理可证明，由面面可得，可得面，即可求证；

（2）取F为PB的三等分点(靠近点B)，N为BC的三等分点(靠近点B )，连接，可证明平面平面，即可得证

（1）连接,，如图，

在四棱锥中，，O为的中点，

，又面面，

面，

在矩形中，，，

由勾股定理知，解得，

,

,

,

又，

面,又平面，

（2）存在F为PB的三等分点(靠近点B).

证明：取BC的三等分点M (靠近点C ) ,连接AM , 如图

易知,

四边形是平行四边形，

，

取BM中点N，连接ON，

N为BM中点， N为BC的三等分点(靠近点B )，

连接，

,

又，

平面平面，又平面

面