【题目】如图,在棱长为2的正方体中,
分别是棱
的中点,
是底面
内一动点,若直线
与平面
不存在公共点,以下说法正确的个数是( )
①三棱锥的体积为定值;
②的面积的最小值为
;
③平面
;
④经过三点的截面把正方体分成体积相等的两部分.
A.B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
由题意得,平面
,连接
,则
,可得
平面
,
平面
,由此得平面
平面
,则点
在直线
上,从而有
的面积
为定值,由此可判断①;结合题意得,当点
为
的交点时,
,
有最小值
,由此可判断②;由题意可得
平面
,从而推出
,
,由此可判断③;将平面
补成平面
(
均为各条棱的中点),结合图象可判断④.
解:∵直线与平面
不存在公共点,
∴平面
,
连接,则
,
∵分别是棱
的中点,
∴,
,
∵平面
,
平面
,
∴平面
,
同理,平面
,
又,
∴平面平面
,
∵平面
,平面
平面
,
平面
,
∴点在直线
上,
∵,
∴的面积
为定值,
∴三棱锥的体积
为定值,则①对;
∵,
∴当点为
的交点时,
,
有最小值
,
此时,直角的面积有最小值,且
,则②对;
∵在正方体中,
,
由平面
得,
,
∴平面
,∴
,则
,
同理,,
∴平面
,则③对;
将平面补成平面
(
均为各条棱的中点),如图,
则平面将正方体分成两个大小形状完全相同的部分(均由一个正六棱锥和三个三棱锥拼接而成),则④对;
故选:D.
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【题目】已知动圆过点
且与直线
相切.
(1)求圆心的轨迹
的方程;
(2)过的直线与
交于
,
两点,分别过
,
做
的垂线,垂足为
,
,线段
的中点为
.
①求证:;
②记四边形,
的面积分别为
,
,若
,求
.
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【题目】甲、乙、丙三位同学在一项集训中的40次测试分数都在[50,100]内,将他们的测试分数分别绘制成频率分布直方图,如图所示,记甲、乙、丙的分数标准差分别为s1,s2,s3,则它们的大小关系为( )
A.s1s2
s3B.s1
s3
s2
C.s3s1
s2D.s3
s2
s1
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【题目】抛物线,
为直线
上的动点,过点
作抛物线
的两条切线,切点分别为
,
.
(1)证明:直线过定点;
(2)若以为圆心的圆与直线
相切,且切点为线段
的中点,求该圆的面积.
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【题目】设函数,
,给定下列命题:
①若方程有两个不同的实数根,则
;
②若方程恰好只有一个实数根,则
;
③若,总有
恒成立,则
;
④若函数有两个极值点,则实数
.
则正确命题的个数为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】过点的动直线l与y轴交于点
,过点T且垂直于l的直线
与直线
相交于点M.
(1)求M的轨迹方程;
(2)设M位于第一象限,以AM为直径的圆与y轴相交于点N,且
,求
的值.
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【题目】某厂商调查甲、乙两种不同型号电视机在10个卖场的销售量(单位:台),并根据这10个卖场的销售情况,得到如图所示的茎叶图.
为了鼓励卖场,在同型号电视机的销售中,该厂商将销售量高于数据平均数的卖场命名为该型号电视机的“星级卖场”.
(1)当时,记甲型号电视机的“星级卖场”数量为
,乙型号电视机的“星级卖场”数量为
,比较
的大小关系;
(2)在这10个卖场中,随机选取2个卖场,记为其中甲型号电视机的“星级卖场”的个数,求
的分布列和数学期望;
(3)若,记乙型号电视机销售量的方差为
,根据茎叶图推断
为何值时,
达到最小值.(只需写出结论)
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