Question

17．甲、乙、丙三位同学完成六道数学自测题，他们及格的概率依次为$\frac{4}{5}$、$\frac{3}{5}$、$\frac{7}{10}$，求：
（1）三人中有且只有两人及格的概率；
（2）三人中至少有一人不及格的概率．

Answer 1

分析 （1）设事件A表示“甲及格”，事件B表示“乙及格”，事件C表示“丙及格”，三人中有且只有2人及格的概率为：p₁=P（AB$\overline{C}$）+P（A$\overline{B}$C）+P（$\overline{A}BC$），由此能求出三人中有且只有两人及格的概率．
（2）“三人中至少有一人不及格”的对立的事件为“三人都及格”，由此利用对立事件的概率计算公式能求出三人中至少有一人不及格的概率．

解答 解：（1）设事件A表示“甲及格”，事件B表示“乙及格”，事件C表示“丙及格”，
则P（A）=$\frac{4}{5}$，P（B）=$\frac{3}{5}$，P（C）=$\frac{7}{10}$，
三人中有且只有2人及格的概率为：
p₁=P（AB$\overline{C}$）+P（A$\overline{B}$C）+P（$\overline{A}BC$）
=P（A）P（B）P（$\overline{C}$）+P（A）P（$\overline{B}$）P（C）+P（$\overline{A}$）P（B）P（C）
=$\frac{4}{5}×\frac{3}{5}×（1-\frac{7}{10}）$+$\frac{4}{5}×（1-\frac{3}{5}）×\frac{7}{10}$+（1-$\frac{4}{5}$）×$\frac{3}{5}×\frac{7}{10}$
=$\frac{113}{250}$．
（2）“三人中至少有一人不及格”的对立的事件为“三人都及格”，
三人中至少有一人不及格的概率为：
p₂=1-P（ABC）=1-P（A）P（B）P（C）=1-$\frac{4}{5}×\frac{3}{5}×\frac{7}{10}$=$\frac{83}{125}$．

点评 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式的合理运用．