Question

已知cos（α-

β

2

）=-

1

3

，sin（

α

2

-β）=

1

4

，且

3π

2

＜α＜2π，

π

2

＜β＜π，求cos

α+β

2

的值．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数

专题：三角函数的求值

分析：由条件求得π＜α-

β

2

＜

3π

2

，0＜

α

2

-β＜

π

2

．利用同角三角函数的基本关系求得sin（α-

β

2

）和cos（

α

2

-β）的值，再根据cos

α+β

2

=cos[（α-

β

2

）-（

α

2

-β）]，利用两角差的余弦公式计算求得结果．

解答： 解：∵

3π

2

＜α＜2π，

π

2

＜β＜π，∴π＜α-

β

2

＜

7π

4

，-

π

4

＜

α

2

-β＜

π

2

．
∵cos（α-

β

2

）=-

1

3

，sin（

α

2

-β）=

1

4

，∴π＜α-

β

2

＜

3π

2

，0＜

α

2

-β＜

π

2

．
∴sin（α-

β

2

）=-

1-cos2(α- β 2 )

=-

2 2

3

，cos（

α

2

-β）=

1-sin2( α 2 -β)

=

15

4

．
∴cos

α+β

2

=cos[（α-

β

2

）-（

α

2

-β）]=cos（α-

β

2

）•cos（

α

2

-β）+sin（α-

β

2

）•sin（

α

2

-β）
=-

1

3

×

15

4

+（-

2 2

3

）×

1

4

=-

15 +2 2

12

．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式，注意角的范围以及三角函数值的符号，属于中档题．