Question

已知a，b，c∈R^*，证明：
（1）（a+b+c）（a²+b²+c²）≤3（a³+b³+c³）；
（2）

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

≥

3

2

．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：高考数学专题

分析：第（1）问考虑左边展开与右边可抵消一个a²+b²+c²，想到作差比较，项较多，可重新分组进行因式分解；第（2）可通过构造柯西不等式放缩，获取定值．

解答： 证明：（Ⅰ）右边-左边，得3（a³+b³+c³）-（a+b+c）（a²+b²+c²）
=2（a³+b³+c³）-a（b²+c²）-b（a²+c²）-c（a²+b²）．
∵a，b∈R^*，∴a³+b³-a²b-ab²=a²（a-b）+b²（b-a）=（a-b）²（a+b）≥0．
∴a³+b³≥a²b+ab²，
    同理，b³+c³≥b²c+bc²，a³+c³≥a²c+ac²，
    以上三式相加得=2（a³+b³+c³）≥a²b+ab²+b²c+bc²+a²c+ac，
∴2（a³+b³+c³）-a（b²+c²）-b（a²+c²）-c（a²+b²）≥0，
∴（a+b+c）（a²+b²+c²）≤3（a³+b³+c³）．      
   （Ⅱ）∵a，b，c∈R^*，∴a+b＞0，b+c＞0，c+a＞0，
    由柯西不等式得）[（a+b）+（b+c）+（c+a）](

1

a+b

+

1

b+c

+

1

c+a

)
≥(

a+b

•

1

a+b

+

b+c

•

1

b+c

+

c+a

•

1

c+a

)²=9，
    即2（a+b+c）（

1

a+b

+

1

b+c

+

1

c+a

）≥9，
∴2（

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

）≥3，故

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

≥

3

2

，
    当且仅当a=b=c时，不等式取等号．

点评：本题的两小问设置合理，主要考查了不等式的基本性质及变形技巧，作差比较法，柯西不等式等．