Question

6．某商场计划销售某种产品，现邀请生产该产品的甲、乙两个厂家进场试销10天．两个厂家提供的返利方案如下：甲厂家每天固定返利70元，且每卖出一件产品厂家再返利2元；乙厂家无固定返利，卖出40件以内（含40件）的产品，每件产品厂家返利4元，超出40件的部分每件返利6元．经统计，两个厂家的试销情况茎叶图如下：

甲							乙
8	9	9	8	9	9	3	8	9	9
		2	0	1	0	4	2	1	1	1	0	1	0

（Ⅰ）现从甲厂家试销的10天中抽取两天，求这两天的销售量都大于40的概率；
（Ⅱ）若将频率视作概率，回答以下问题：
（ⅰ）记乙厂家的日返利额为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；
（ⅱ）商场拟在甲、乙两个厂家中选择一家长期销售，如果仅从日返利额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为商场作出选择，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）记“抽取的两天销售量都大于40”为事件A，利用等可能事件概率计算公式能求出这两天的销售量都大于40的概率．
（Ⅱ）（ⅰ）设乙产品的日销售量为a，推导出X的所有可能取值为：152，156，160，166，172，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．
（ⅱ）求出甲厂家的日平均销售量，从而得到甲厂家的日平均返利，由（ⅰ）得乙厂家的日平均返利额，由此推荐该商场选择乙厂家长期销售．

解答 （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）记“抽取的两天销售量都大于40”为事件A，
则$P（A）=\frac{C_2^2}{{C_{10}^2}}=\frac{1}{45}$．…（4分）
（Ⅱ）（ⅰ）设乙产品的日销售量为a，则
当a=38时，X=38×4=152；
当a=39时，X=39×4=156；
当a=40时，X=40×4=160；
当a=41时，X=40×4+1×6=166；
当a=42时，X=40×4+2×6=172；
∴X的所有可能取值为：152，156，160，166，172，
∴X的分布列为

X	152	156	160	166	172
p	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{1}{10}$

∴$EX=152×\frac{1}{10}+156×\frac{1}{5}+160×\frac{1}{5}+166×\frac{2}{5}+172×\frac{1}{10}=162$．…（9分）
（ⅱ）依题意，甲厂家的日平均销售量为：38×0.2+39×0.4+40×0.2+41×0.1+42×0.1=39.5，
∴甲厂家的日平均返利额为：70+39.5×2=149元，
由（ⅰ）得乙厂家的日平均返利额为162元（＞149元），
∴推荐该商场选择乙厂家长期销售．…（12分）

点评 本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．