Question

14．如图，边长为2的正方形ABCD中，点E、点F分别是AB、BC上的点，且BE=BF，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A₁．
（Ⅰ）若点E是边AB的中点，求证：A₁D⊥EF；
（Ⅱ）当$BE=\frac{1}{2}$时，求三棱锥A₁-DEF的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）折叠前有AD⊥AE，CD⊥CF，折叠后有A₁D⊥A₁E，A₁D⊥A₁F，从而A₁D⊥平面A₁EF，由此能证明A₁D⊥EF．
（Ⅱ）取EF的中点O，连接A₁O，三棱锥A₁-DEF的体积${V_{{A_1}-EFD}}=\frac{1}{3}•{S_{△E{A_1}F}}•{A_1}D$，由此能求出结果．

解答 解：：（Ⅰ）折叠前有AD⊥AE，CD⊥CF，
折叠后有A₁D⊥A₁E，A₁D⊥A₁F，
又A₁E∩A₁F=A₁，∴A₁D⊥平面A₁EF，
∴A₁D⊥EF．…（6分）
解：（Ⅱ）由正方形ABCD的边长为2，
折叠后A₁D=2，${A_1}E={A_1}F=\frac{3}{2}$，$EF=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
取EF的中点O，连接A₁O，
则${A_1}O=\sqrt{{A_1}{E^2}-E{O^2}}=\frac{{\sqrt{34}}}{4}$
∴${S_{△E{A_1}F}}=\frac{1}{2}•{A_1}O•EF=\frac{{\sqrt{17}}}{8}$，
∴${V_{{A_1}-EFD}}=\frac{1}{3}•{S_{△E{A_1}F}}•{A_1}D=\frac{{\sqrt{17}}}{12}$．…（12分）

点评 本题考查柱、锥、台体的体积，解答此题的关键是注意折叠问题在折叠前后的变量与不变量，考查空间想象能力与计算能力，是中档题．