Question

5．已知非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$满足$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=2，|{\overrightarrow a}|=1$，则$\overrightarrow a+\overrightarrow b$与$\overrightarrow a-\overrightarrow b$的夹角为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 根据题意，得出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$；求出|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$，利用平面向量数量积的夹角公式求出夹角的大小．

解答 解：非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$满足$|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=2，|{\overrightarrow a}|=1$，
∴${（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）}^{2}$=${（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}^{2}$，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=0，
∴$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$；
画出图形如图所示；

∴|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{3}$，
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=${\overrightarrow{a}}^{2}$-${\overrightarrow{b}}^{2}$=1²-${（\sqrt{3}）}^{2}$=-2，
∴cos＜$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|×|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-2}{2×2}$=-$\frac{1}{2}$，
∵$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$夹角的取值范围为[0，π]，
∴$\overrightarrow a+\overrightarrow b$与$\overrightarrow a-\overrightarrow b$的夹角为$\frac{2π}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查了平面向量的数量积与夹角公式的应用问题，是基础题．