Question

【题目】如图，已知椭圆C： 的右顶点为A，离心率为e，且椭圆C过点 ，以AE为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点．

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知动直线l（直线l不过原点且斜率存在）与椭圆C交于P，Q两个不同的点，且△OPQ的面积S=1，若N为线段PQ的中点，问：在x轴上是否存在两个定点E1 ， E2 ， 使得直线NE1与NE2的斜率之积为定值？若存在，求出E1 ， E2的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：连接EF，则EF⊥FA，则xF=c=2e，则c= ，解得：a=2，

故点E（c， ），代入椭圆方程： ，解得：c= ，

b2=a2﹣c2=1，

故椭圆的方程：

（2）

解：设直线l的方程为：y=kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），

则 ，整理得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2=4=0，

x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

则丨PQ丨= = ，

原点到直线l的距离d= ，

∴△OPQ的面积S△OPQ= 丨PQ丨×d= × =1，

即2丨m丨 =1+4k2，则1+4k2=2m2，

设N（x，y），则x= =﹣ =﹣ ，y= = = ，

由①，②消去m， ，

假设x轴上，存在两定点E1（s，0），E2（t，0），（s≠t）

那么直线NE1的斜率k1= ，直线NE2的斜率k2= ，

则k1k2= =﹣ ，

当且仅当s+t=0，st=﹣2，k1k2=﹣ ，解得：s= ，t=﹣ ，

即存在定点E1（ ，0），E2（﹣ ，0），满足题意．

【解析】（1）由题意可知c=2e，根据椭圆的离心率公式，即可求得a，将E代入椭圆方程，即可求得椭圆方程；（2）将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式，由S=1，求得1+4k2=2m2 ， 设两点坐标，利用斜率公式，即可求得两点坐标．