Question

12．（1）当x＞0时，求证：2-$\frac{e}{x}≤lnx≤\frac{x}{e}$；
（2）当函数y=a^x（a＞1）与函数y=x有且仅有一个交点，求a的值；
（3）讨论函数y=a^|x|-|x|（a＞0且a≠1）y=a的零点个数．

Answer 1

分析 （1）构造函数，利用函数的导数求解函数的最值，然后证明结果．
（2）令h（x）=a^x-x，x∈R，求出导数，极值点判断函数的单调性，说明?t＞0，使a^x≥$\frac{2}{a-1}$，当x≥t+3时，当x≤0时，转化求解a=${e}^{\frac{1}{e}}$．
（3）令k（x）=a^|x|-|x|，x∈R，y=k（x）是偶函数，k（0）=1≠0时，k（x）=a^x-x，由（2）知，当a=${e}^{\frac{1}{e}}$时，函数k（x）=a^|x|-|x|，有两个零点；求出k′（x），当0＜a＜1时，推出函数k（x）=a^|x|-|x|，有两个零点；当1＜a＜${e}^{\frac{1}{e}}$时，判断函数的单调性，求出零点个数，当a＞${e}^{\frac{1}{e}}$时，判断单调性求出零点个数．

解答 证明：（1）令f（x）=lnx+$\frac{e}{x}$-2，g（x）=lnx-$\frac{e}{x}$，x＞0，f′（x）=$\frac{1}{x}-\frac{e}{{x}^{2}}$=$\frac{x-e}{{x}^{2}}$，
所以y=f（x）在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，
∴f（x）_min=f（e）=0，同理可证g（x）_max=g（e）=0，故得证…（4分）
（2）令h（x）=a^x-x，x∈R，h′（x）=a^xlna-1，令h′（x）=0，则x=log_a（log_ae），y=h（x）在（-∞，log_a（log_ae））上单调递减，在（log_a（log_ae），+∞）上单调递增，
?t＞0，使a^x≥$\frac{2}{a-1}$，当x≥t+3时，a^x=a^t•x^x-t≥$\frac{2}{a-1}$•x^[x-t]=$\frac{2}{a-1}•（1+a-1）^{[x-t]}$≥$\frac{2}{a-1}•（1+（a-1）[x-t]）$＞$\frac{2}{a-1}•$（1+（a-1）（a-t-1））＞2x-2t-2；a^x-x≥x-2t-2，
当x≤0时，a^x-x≤1-x，∴h（log_a（log_ae））=log_ae-（log_a（log_ae）=0，a^e=e，lna^e=1，a=${e}^{\frac{1}{e}}$．（8分）
（3）令k（x）=a^|x|-|x|，x∈R，y=k（x）是偶函数，k（0）=1≠0时，k（x）=a^x-x，
由（2）知，当a=${e}^{\frac{1}{e}}$时，函数k（x）=a^|x|-|x|，有两个零点；
k′（x）=a^xlna-1，当0＜a＜1时，k′（0）=1，k（1）=a-1＜0，
所以函数k（x）=a^|x|-|x|，有两个零点；当1＜a＜${e}^{\frac{1}{e}}$时，k′（x）=a^xlna-1，y=k（x），在（0，log_a（log_ae））上单调递减，在（log_a（log_ae），+∞）上单调递增，k（log_a（log_ae））=log_ae-log_a（log_ae）＜0，k（0）=1＞1，当x≥y+3时，a^x=a^t•x^x-t≥$\frac{2}{a-1}$•x^x-t≥$\frac{2}{a-1}•{x}^{[x-t]}$=$\frac{2}{a-1}•（1+a-1）^{[x-t]}$≥$\frac{2}{a-1}•（1+（a-1）[x-t]）$＞$\frac{2}{a-1}•（1+（a-1）（x-t-1））$＞2x-2t-2，
a^x-x≥x-2t-2，所以k（2t+3）＞1＞0，函数y=a^|x|-|x|，有四个零点；当a＞${e}^{\frac{1}{e}}$时，y=k（x），在（0，log_a（log_ae））上单调递减，在（log_a（log_ae），+∞）上单调递增，且k（log_a（log_ae））=log_ae-log_a（log_ae）＞0，函数y=a^|x|-|x|，没有零点．
综上所述，当0＜a＜1或a=${e}^{\frac{1}{e}}$时，函数y=a^|x|-|x|，有两个零点；当1＜a＜${e}^{\frac{1}{e}}$时，函数y=a^|x|-|x|，有四个零点；当a＞${e}^{\frac{1}{e}}$时，函数y=a^|x|-|x|，没有零点…（12分）

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性，函数的最值以及函数的零点个数的求法，考查转化思想以及计算能力．