Question

【题目】已知平面直角坐标系内的动点P到直线的距离与到点的距离比为．

（1）求动点P所在曲线E的方程；

（2）设点Q为曲线E与轴正半轴的交点，过坐标原点O作直线，与曲线E相交于异于点的不同两点，点C满足，直线和分别与以C为圆心，为半径的圆相交于点A和点B，求△QAC与△QBC的面积之比的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

(1) 设动点P的坐标为, 由题意可得,整理可得曲线E的方程；

(2) 解法一：可得圆C方程为，设直线MQ的方程为，设直线NQ的方程为，分别与圆联立，可得，，可得，可得，代入可得答案；

解法二：可得圆C方程为，设直线MQ的方程为，则点C到MQ的距离为， ， ，设直线NQ的方程为，同理可得： ，，可得，代入可得答案.

解：（1）设动点P的坐标为，由题意可得，

整理，得：，即为所求曲线E的方程；

（2）（解法一）由已知得：，，，即圆C方程为

由题意可得直线MQ，NQ的斜率存在且不为0

设直线MQ的方程为，与联立得：

所以，

同理，设直线NQ的方程为，与联立得：

所以

因此

由于直线过坐标原点，所以点与点关于坐标原点对称

设，，所以，

又在曲线上，所以，即

故，

由于，所以，

（解法二）由已知得：，，，即圆C方程为

由题意可得直线MQ，NQ的斜率存在且不为0

设直线MQ的方程为，则点C到MQ的距离为

所以

于是，

设直线NQ的方程为，同理可得：

所以

由于直线l过坐标原点，所以点M与点N关于坐标原点对称

设，，所以，

又在曲线上，所以，即

故，

由于，所以，