【题目】已知圆C:(x﹣a)2+(y﹣2)2=4(a>0)及直线l:x﹣y+3=0.当直线l被圆C截得的弦长为时,求
(Ⅰ)a的值;
(Ⅱ)求过点(3,5)并与圆C相切的切线方程.
【答案】(Ⅰ)a=1;(Ⅱ)5x﹣12y+45=0或x=3.
【解析】
(Ⅰ)根据圆的方程找出圆心坐标与圆的半径,然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d,然后根据垂径定理得到弦心距,弦的一半及圆的半径成直角三角形,利用勾股对了列出关于a的方程,求出方程的解即可得到a的值,然后由a大于0,得到满足题意a的值;
(Ⅱ)把(Ⅰ)求出a的值代入圆的方程中确定出圆的方程,即可得到圆心的坐标,并判断得到已知点在圆外,分两种情况:当切线的斜率不存在时,得到x=3为圆的切线;当切线的斜率存在时,设切线的斜率为k,由(3,5)和设出的k写出切线的方程,根据直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径,利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d,让d等于圆的半径即可列出关于k的方程,求出方程的解即可得到k的值,把k的值代入所设的切线方程即可确定出切线的方程.综上,得到所有满足题意的切线的方程.
解:(Ⅰ)依题意可得圆心C(a,2),半径r=2,
则圆心到直线l:x﹣y+3=0的距离,
由勾股定理可知,代入化简得|a+1|=2,
解得a=1或a=﹣3,
又a>0,所以a=1;
(Ⅱ)由(1)知圆C:(x﹣1)2+(y﹣2)2=4,圆心坐标为(1,2),圆的半径r=2
由(3,5)到圆心的距离为r=2,得到(3,5)在圆外,
∴①当切线方程的斜率存在时,设方程为y﹣5=k(x﹣3)
由圆心到切线的距离dr=2,
化简得:12k=5,可解得,
∴切线方程为5x﹣12y+45=0;
②当过(3,5)斜率不存在直线方程为x=3与圆相切.
由①②可知切线方程为5x﹣12y+45=0或x=3.
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【题目】已知平面直角坐标系内的动点P到直线的距离与到点
的距离比为
.
(1)求动点P所在曲线E的方程;
(2)设点Q为曲线E与轴正半轴的交点,过坐标原点O作直线
,与曲线E相交于异于点
的不同两点
,点C满足
,直线
和
分别与以C为圆心,
为半径的圆相交于点A和点B,求△QAC与△QBC的面积之比
的取值范围.
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【题目】已知椭圆C的两个顶点分别为A(2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4:5.
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【题目】住在同一城市的甲、乙两位合伙人,约定在当天下午4:20-5:00间在某个咖啡馆相见商谈合作事宜,他们约好当其中一人先到后最多等对方10分钟,若等不到则可以离去,则这两人能相见的概率为__________.
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【题目】设抛物线的焦点为
,过点
作垂直于
轴的直线与抛物线交于
,
两点,且以线段
为直径的圆过点
.
(1)求抛物线的方程;
(2)若直线与抛物线
交于
,
两点,点
为曲线
:
上的动点,求
面积的最小值.
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【题目】某科技创新公司在第一年年初购买了一台价值昂贵的设备,该设备的第1年的维护费支出为20万元,从第2年到第6年,每年的维修费增加4万元,从第7年开始,每年维修费为上一年的125%.
(1)求第n年该设备的维修费的表达式;
(2)设,若
万元,则该设备继续使用,否则须在第n年对设备更新,求在第几年必须对该设备进行更新?
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【题目】如图,四棱锥的底面是菱形,
底面
,
分别是
的中点,
,
,
.
(I)证明:;
(II)求直线与平面
所成角的正弦值;
(III)在边上是否存在点
,使
与
所成角的余弦值为
,若存在,确定点
位置;若不存在,说明理由.
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