Question

【题目】已知椭圆的左右焦点为，是椭圆上半部分的动点，连接和长轴的左右两个端点所得两直线交正半轴于两点（点在的上方或重合）．

（1）当面积最大时，求椭圆的方程；

（2）当时，在轴上是否存在点使得为定值，若存在，求点的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2）存在,

【解析】

（1）由椭圆的方程，可得，结合三角形的面积公式和基本不等式，求得，进而求得椭圆的方程；

（2）设，设直线的方程为，分别求得的坐标，根据向量的数量积的运算，即可求解．

（1）由题意，椭圆，可得，

则，当且仅当时等号成立，

又由，解得，

所以椭圆方程为：；

（2）由题意，当时，椭圆的，

假设存在点，使得为定值，设，

设直线的方程为，

当时，，即，

由，消去可得，可得，

所以，所以，

所以，，

所以，

因为的定值，

所以，即，故点的坐标为．