Question

1．已知函数$f（x）=4sin（2x+\frac{π}{6}）$（$0≤x≤\frac{91π}{6}$），若函数F（x）=f（x）-3的所有零点依次记为x₁，x₂，x₃，…，x_n，且x₁＜x₂＜x₃＜…＜x_n，则x₁+2x₂+2x₃+…+2x_n-1+x_n=445π．

Answer 1

分析 求出f（x）的对称轴，根据f（x）的对称性得出任意两相邻两零点的和，从而得出答案．

解答 解：令2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+kπ得x=$\frac{π}{6}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，即f（x）的对称轴方程为x=$\frac{π}{6}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z．
∵f（x）的最小正周期为T=π，$0≤x≤\frac{91π}{6}$，
∴f（x）在（0，$\frac{91π}{6}$）上有30条对称轴，
∴x₁+x₂=2×$\frac{π}{6}$，x₂+x₃=2×$\frac{2π}{3}$，x₃+x₄=2×$\frac{7π}{6}$，…，x_n-1+x_n=2×$\frac{44π}{3}$，
将以上各式相加得：x₁+2x₂+2x₃+…+2x_n-1+x_n=2×（$\frac{π}{6}$+$\frac{2π}{3}$+$\frac{7π}{6}$+…+$\frac{44π}{3}$）=2×$\frac{\frac{π}{6}+\frac{44π}{3}}{2}$×30=445π．
故答案为：445π．

点评 本题考查了正弦函数的图象与性质，函数对称性的应用，属于中档题．