Question

10．已知函数f（x）=ax²-x-lnx，a∈R．
（1）当$a=\frac{3}{8}$时，求函数f（x）的最小值；
（2）若-1≤a≤0，证明：函数f（x）有且只有一个零点；
（3）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当$a=\frac{3}{8}$时，$f（x）=\frac{3}{8}{x^2}-x-lnx$．求出函数的导数，得到极值点，然后判断单调性求解函数的最值．
（2）由f（x）=ax²-x-lnx，得$f'（x）=2ax-1-\frac{1}{x}=\frac{{2a{x^2}-x-1}}{x}，\;x＞0$．当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点，当-1≤a≤0时，f（1）=a-1＜0，$f（\frac{1}{e}）=\frac{{{e^2}-e+a}}{e^2}＞0$，推出结果．
（3）由（2）知，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点．说明a＞0，由f（x）=ax²-x-lnx，得$f'（x）=\frac{{2a{x^2}-x-1}}{x}，\;（x＞0）$，说明函数f（x）在（0，x₀）上单调递减；在（x₀，+∞）上单调递增．
要使得函数f（x）在（0，+∞）上有两个零点，只需要$ax_0^2-{x_0}-ln{x_0}＜0$．通过函数h（x）=2lnx+x-1在（0，+∞）上是增函数，推出0＜a＜1．验证当0＜a＜1时，函数f（x）有两个零点．证明：lnx≤x-1．
设t（x）=x-1-lnx，利用导数求解函数的最值即可．

解答 解：（1）当$a=\frac{3}{8}$时，$f（x）=\frac{3}{8}{x^2}-x-lnx$．
所以$f'（x）=\frac{3}{4}x-1-\frac{1}{x}=\frac{（3x+2）（x-2）}{4x}$，（x＞0）．   …2分
令f'（x）=0，得x=2，
当x∈（0，2）时，f'（x）＜0；当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，
所以函数f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增．
所以当x=2时，f（x）有最小值$f（2）=-\frac{1}{2}-ln2$．…4分
（2）由f（x）=ax²-x-lnx，得$f'（x）=2ax-1-\frac{1}{x}=\frac{{2a{x^2}-x-1}}{x}，\;x＞0$．
所以当a≤0时，$f'（x）=\frac{{2a{x^2}-x-1}}{x}＜0$，
函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
所以当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点．…6分
因为当-1≤a≤0时，f（1）=a-1＜0，$f（\frac{1}{e}）=\frac{{{e^2}-e+a}}{e^2}＞0$，
所以当-1≤a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上有零点．
综上，当-1≤a≤0时，函数f（x）有且只有一个零点． …8分
（3）由（2）知，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点．
因为函数f（x）有两个零点，所以a＞0．  …9分
由f（x）=ax²-x-lnx，得$f'（x）=\frac{{2a{x^2}-x-1}}{x}，\;（x＞0）$，令g（x）=2ax²-x-1．
因为g（0）=-1＜0，2a＞0，
所以函数g（x）在（0，+∞）上只有一个零点，设为x₀．
当x∈（0，x₀）时，g（x）＜0，f'（x）＜0；当x∈（x₀，+∞）时，g（x）＞0，f'（x）＞0．
所以函数f（x）在（0，x₀）上单调递减；在（x₀，+∞）上单调递增．
要使得函数f（x）在（0，+∞）上有两个零点，
只需要函数f（x）的极小值f（x₀）＜0，即$ax_0^2-{x_0}-ln{x_0}＜0$．
又因为$g（{x_0}）=2ax_0^2-{x_0}-1=0$，所以2lnx₀+x₀-1＞0，
又因为函数h（x）=2lnx+x-1在（0，+∞）上是增函数，且h（1）=0，
所以x₀＞1，得$0＜\frac{1}{x_0}＜1$．
又由$2ax_0^2-{x_0}-1=0$，得$2a={（\frac{1}{x_0}）^2}+\frac{1}{x_0}={（\frac{1}{x_0}+\frac{1}{2}）^2}-\frac{1}{4}$，
所以0＜a＜1． …13分
以下验证当0＜a＜1时，函数f（x）有两个零点．
当0＜a＜1时，$g（\frac{1}{a}）=\frac{2a}{a^2}-\frac{1}{a}-1=\frac{1-a}{a}＞0$，
所以$1＜{x_0}＜\frac{1}{a}$．
因为$f（\frac{1}{e}）=\frac{a}{e^2}-\frac{1}{e}+1=\frac{{{e^2}-e+a}}{e^2}＞0$，且f（x₀）＜0．
所以函数f（x）在$（\frac{1}{e}，{x_0}）$上有一个零点．
又因为$f（\frac{2}{a}）=\frac{4a}{a^2}-\frac{2}{a}-ln\frac{2}{a}≥\frac{2}{a}-（\frac{2}{a}-1）=1＞0$（因为lnx≤x-1），且f（x₀）＜0．
所以函数f（x）在$（{x_0}，\;\;\frac{2}{a}）$上有一个零点．
所以当0＜a＜1时，函数f（x）在$（\frac{1}{e}，\;\frac{2}{a}）$内有两个零点．
综上，实数a的取值范围为（0，1）． …16分
下面证明：lnx≤x-1．
设t（x）=x-1-lnx，所以$t'（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$，（x＞0）．
令t'（x）=0，得x=1．
当x∈（0，1）时，t'（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，t'（x）＞0．
所以函数t（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
所以当x=1时，t（x）有最小值t（1）=0．
所以t（x）=x-1-lnx≥0，得lnx≤x-1成立．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的极值，构造法以及分类讨论思想的应用，考查计算能力．