Question

2．定义域为R的偶函数r（x）满足r（x+1）=r（x-1），当x∈[0，1]时，r（x）=x；函数$h（x）=\left\{\begin{array}{l}{log_3}x，x＞0\\{2^x}，x≤0\end{array}\right.$，则f（x）=r（x）-h（x），f（x）在[-3，4]上零点的个数为（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 6
• D． 5

Answer 1

分析 根据r（x+1）=r（x-1），则r（x+2）=r[（x+1）-1]=r（x），r（x）是周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，r（x）=x；作出作出r（x）与h（x）的图象在[-3，4]的交点个数，即是函数f（x）在[-3，4]上零点的个数．

解答 解：由题意，满足r（x+1）=r（x-1），则r（x+2）=r[（x+1）-1]=r（x），r（x）是周期为2的函数；
当x∈[0，1]时，r（x）=x；函数$h（x）=\left\{\begin{array}{l}{log_3}x，x＞0\\{2^x}，x≤0\end{array}\right.$，
作出r（x）与h（x）的图象，如下：

从两图象在[-3，4]交于5个点即f（x）在[-3，4]上有5个零点．
故选D．

点评 本题主要考查了函数图象与性质的运用，零点问题，图象的做法．属于中档题．