Question

7．已知函数f（x）=|x|+|x+1|．
（1）解关于x的不等式f（x）＞3；
（2）若?x∈R，使得m²+3m+2f（x）≥0成立，试求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；
（2）求出f（x）的最小值，问题转化为m²+3m+2≥0，解出即可．

解答 解：（1）由|x|+|x+1|＞3，
得：$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{x+x+1＞3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x＜0}\\{-x+x+1＞3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≤-1}\\{-x-x-1＞3}\end{array}\right.$，
解得：x＞1或x＜-2，
故不等式的解集是{x|x＞1或x＜-2}；
（2）若?x∈R，使得m²+3m+2f（x）≥0成立，
而f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x+1，x≥0}\\{1，-1＜x＜0}\\{-2x-1，x≤-1}\end{array}\right.$，故f（x）的最小值是1，
故只需m²+3m+2≥0即可，
解得：m≥-1或m≤-2．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的意义，是一道中档题．