Question

11．平面上动点P到点F（0，1）的距离比它到直线l：y=-2的距离小1．
（Ⅰ） 求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F作直线与曲线C交于两点A，B，与直线l交于点M，求|MA|•|MB|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 利用平面上动点P到点F（0，1）的距离比它到直线l：y=-2的距离小1，建立方程，即可求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）$\overrightarrow{MA}$与$\overrightarrow{MB}$方向相同，故$|MA|•|MB|=|\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}|$，直线与抛物线方程联立，利用韦达定理及基本不等式，即可求|MA|•|MB|的最小值．

解答 解：（Ⅰ）设动点P的坐标为（x，y），由题意知：$\sqrt{{x^2}+{{（y-1）}^2}}=|y-（-2）|-1=|y+2|-1$，且y≥0，
∴$\sqrt{{x^2}+{{（y-1）}^2}}=y+1⇒{x^2}+{（y-1）^2}={（y+1）^2}$，化简得：x²=4y，
即为动点P轨迹C的方程；   …（4分）
（Ⅱ）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，-2），
由题意直线AB的斜率k
存在且k≠0，设其方程为y=kx+1，则${x_0}=-\frac{3}{k}$，得$M（-\frac{3}{k}，-2）$
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\{x^2}=4y\end{array}\right.$，消去y得x²-4kx-4=0，
于是△=16（k²+1）＞0恒成立，且x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
又${y_1}{y_2}=（k{x_1}+1）（k{x_2}+1）={k^2}{x_1}{x_2}+k（{x_1}+{x_2}）+1=1$，${y_1}+{y_2}=k（{x_1}+{x_2}）+2=4{k^2}+2$…（7分）
∵$\overrightarrow{MA}$与$\overrightarrow{MB}$方向相同，故$|MA|•|MB|=|\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}|$，$\overrightarrow{MA}=（{x_1}+\frac{3}{k}，{y_1}+2），\overrightarrow{MB}=（{x_2}+\frac{3}{k}，{y_2}+2）$，$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=（{x_1}+\frac{3}{k}）（{x_2}+\frac{3}{k}）+（{y_1}+2）（{y_2}+2）={x_1}{x_2}+\frac{3}{k}（{x_1}+{x_2}）+\frac{9}{k^2}+{y_1}{y_2}+2（{y_1}+{y_2}）+4$
=$8{k^2}+\frac{9}{k^2}+17≥2\sqrt{8{k^2}×\frac{9}{k^2}}+17=17+12\sqrt{2}$，
当且仅当${k^4}=\frac{9}{8}⇒{k^2}=\frac{{3\sqrt{2}}}{4}$时取等号，
故|MA|•|MB|的最小值为$17+12\sqrt{2}$．…（12分）

点评 本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识、韦达定理的运用，属于中档题．