Question

7．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，过右焦点F₂且与x轴垂直的直线与双曲线两条渐近线分别交于A，B两点，若△ABF₁为等腰直角三角形，且|AB|=4$\sqrt{5}$，P（x，y）在双曲线上，M（$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$），则|PM|+|PF₂|的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{5}$-1
• B． 2
• C． 2$\sqrt{5}$-2
• D． 3

Answer 1

分析 设出双曲线的焦点和渐近线方程，令x=c，解得y，可得|AB|，由等腰直角三角形的性质和双曲线的基本量的关系，解得a，b，c，可得双曲线的方程，讨论P在左支和右支上，运用双曲线的定义，结合三点共线的性质，结合两点的距离公式，即可得到所求最小值．

解答 解：双曲线的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），
渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
令x=c，解得y=±$\frac{bc}{a}$，
可得|AB|=$\frac{2bc}{a}$，
若△ABF₁为等腰直角三角形，且|AB|=4$\sqrt{5}$，
即有$\frac{2bc}{a}$=4$\sqrt{5}$，2c=2$\sqrt{5}$，c²=a²+b²，
解得a=1，b=2，c=$\sqrt{5}$，
即有双曲线的方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
由题意可知若P在左支上，由双曲线的定义可得|PF₂|=2a+|PF₁|，
|PM|+|PF₂|=|PM|+|PF₁|+2a≥|MF₁|+2=$\sqrt{（\sqrt{5}+\sqrt{5}）^{2}+（\sqrt{5}）^{2}}$+2=7，
当且仅当M，P，F₁共线时，取得最小值7；
若P在右支上，由双曲线的定义可得|PF₂|=|PF₁|-2a，
|PM|+|PF₂|=|PM|+|PF₁|-2a≥|MF₁|-2=$\sqrt{（\sqrt{5}+\sqrt{5}）^{2}+（\sqrt{5}）^{2}}$-2=3，
当且仅当M，P，F₁共线时，取得最小值3．
综上可得，所求最小值为3．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是渐近线方程的运用，以及定义法，考查转化思想和三点共线取得最小值的性质，考查运算能力，属于中档题．