Question

16．已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=2，b₁=4，且 2b_n=a_n+a_n +1，a_n+1²=b_nb_n+1．
（Ⅰ）求 a ₂，a₃，a₄ 及b₂，b₃，b₄；
（Ⅱ）猜想{a_n }，{b_n} 的通项公式，并证明你的结论；
（Ⅲ）证明：对所有的 n∈N^*，$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}$•$\frac{{a}_{3}}{{b}_{3}}$•…•$\frac{{a}_{2n-1}}{{b}_{2n-1}}$＜$\sqrt{\frac{{b}_{n}-{a}_{n}}{{b}_{n}+{a}_{n}}}$＜$\sqrt{2}$sin$\frac{1}{{\sqrt{2\sqrt{b_n}-1}}}$．

Answer 1

分析 （I）依次把n=1，2，3代入递推式即可求出{a_n}，{b_n}的前4项；
（II）利用数学归纳法证明猜想；
（III）利用放缩法证明不等式左边，利用函数单调性证明不等式右边．

解答 解：（I）令n=1得$\left\{\begin{array}{l}{2{b}_{1}={a}_{1}+{a}_{2}}\\{{{a}_{2}}^{2}={b}_{1}{b}_{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}=6}\\{{b}_{2}=9}\end{array}\right.$，
令n=2得$\left\{\begin{array}{l}{2{b}_{2}={a}_{2}+{a}_{3}}\\{{{a}_{3}}^{2}={b}_{2}{b}_{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{3}=12}\\{{b}_{3}=16}\end{array}\right.$，
令n=3得$\left\{\begin{array}{l}{2{b}_{3}={a}_{3}+{a}_{4}}\\{{{a}_{4}}^{2}={b}_{3}{b}_{4}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{4}=20}\\{{b}_{4}=25}\end{array}\right.$．
（II）猜想：a_n=n（n+1），b_n=（n+1）²．
证明：当n=1时，猜想显然成立，
假设n=k（k≥1）猜想成立，即a_k=k（k+1），b_k=（k+1）²，
∵2b_k=a_k+a_k+1，∴a_k+1=2b_k-a_k=2（k+1）²-k（k+1）=（k+1）（k+2），
∵a_k+1²=b_kb_k+1，∴b_k+1=$\frac{{{a}_{k+1}}^{2}}{{b}_{k}}$=（k+2）²，
∴当n=k+1时，猜想成立，
∴a_n=n（n+1），b_n=（n+1）²，n∈N₊．
（III）证明：由（II）可知$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{n}{n+1}$，
于是原不等式等价于$\frac{1}{2}•\frac{3}{4}•\frac{5}{6}$…$\frac{2n-1}{2n}$＜$\sqrt{\frac{1}{2n+1}}$＜$\sqrt{2}$sin$\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$，
（i）先证$\frac{1}{2}•\frac{3}{4}•\frac{5}{6}$…$\frac{2n-1}{2n}$＜$\sqrt{\frac{1}{2n+1}}$，
∵4n²-1＜4n²，∴（2n+1）（2n-1）＜4n²，
∴（2n-1）²（2n+1）＜4n²（2n-1），
即（$\frac{2n-1}{2n}$）²＜$\frac{2n-1}{2n+1}$，即$\frac{2n-1}{2n}$＜$\frac{\sqrt{2n-1}}{\sqrt{2n+1}}$，
∴$\frac{1}{2}•\frac{3}{4}•\frac{5}{6}$…$\frac{2n-1}{2n}$＜$\frac{1}{\sqrt{3}}$•$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$•$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{7}}$…$\frac{\sqrt{2n-1}}{\sqrt{2n+1}}$=$\sqrt{\frac{1}{2n+1}}$，
（ii）再证$\sqrt{\frac{1}{2n+1}}$＜$\sqrt{2}$sin$\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$．
令$\sqrt{\frac{1}{2n+1}}$=x，则0＜x≤$\sqrt{\frac{1}{3}}$＜$\frac{π}{4}$，
设f（x）=x-$\sqrt{2}$sinx，则f′（x）=1-$\sqrt{2}$cosx＜0，
∴f（x）在（0，$\frac{π}{4}$）上单调递减，
∴f（x）＜f（0）=0，即x$＜\sqrt{2}$sinx，
∴$\sqrt{\frac{1}{2n+1}}$＜$\sqrt{2}$sin$\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$．
综上，对所有的 n∈N^*，$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}$•$\frac{{a}_{3}}{{b}_{3}}$•…•$\frac{{a}_{2n-1}}{{b}_{2n-1}}$＜$\sqrt{\frac{{b}_{n}-{a}_{n}}{{b}_{n}+{a}_{n}}}$＜$\sqrt{2}$sin$\frac{1}{{\sqrt{2\sqrt{b_n}-1}}}$．

点评 本题考查了数学归纳法，放缩法证明不等式，函数单调性的应用，属于中档题．