Question

13．设函数y=f″（x）是y=f′（x）的导数．某同学经过探究发现，任意一个三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）都有对称中心（x₀，f（x₀）），其中x₀满足f″（x₀）=0．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$，则f（$\frac{1}{2017}$）+f（$\frac{2}{2017}$）+f（$\frac{3}{2017}$）+…+f（$\frac{2016}{2017}$）=2016．

Answer 1

分析 根据题意，由函数f（x）的解析式可以求出f′（x）得解析式，再求f″（x），由f″（x）=0 求得拐点的横坐标，代入函数解析式求拐点的纵坐标，即可得函数f（x）的对称中心坐标，由对称中心的坐标分析可得f（x）+f（1-x）=2，由此计算可得答案．

解答 解：根据题意，对于函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$，
有f′（x）=x²-x+3，f″（x）=2x-1．
由f″（x）=0，即2x-1=0，即x=$\frac{1}{2}$，
又由f（$\frac{1}{2}$）=1，即函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{1}{2}$x²+3x-$\frac{5}{12}$的对称中心为（$\frac{1}{2}$，1），
则有f（x）+f（1-x）=2，
则f（$\frac{1}{2017}$）+f（$\frac{2}{2017}$）+f（$\frac{3}{2017}$）+…+f（$\frac{2016}{2017}$）=[f（$\frac{1}{2017}$）+f（$\frac{2016}{2017}$）]+[f（$\frac{2}{2017}$）+f（$\frac{2015}{2017}$）]+…+[f（$\frac{1008}{2017}$）+f（$\frac{1009}{2017}$）]=2×1008=2016；
故答案为：2016．

点评 本题考查导数的计算，关键是理解三次函数的对称中心的求法以及其性质．