Question

3．已知函数f（x）=lnx-x+1．
（1）求函数f（x）的单调性；
（2）已知x₀为整数，若使不等式$f（{x_0}）+\frac{x_0}{2}+a＞0$成立的x₀有两个，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可；
（2）设$g（x）=f（x）+\frac{x}{2}+a=lnx-\frac{x}{2}+a+1（x＞0）$，求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值，几何题意求出a的范围即可．

解答 解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），$f'（x）=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$，
令f'（x）=0得x=1，
∵在（0，1）上，f'（x）＞0，在（1，+∞）上，f'（x）＜0，
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
（2）设$g（x）=f（x）+\frac{x}{2}+a=lnx-\frac{x}{2}+a+1（x＞0）$，
则$g'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{2}=\frac{2-x}{2x}$，令g'（x）=0得x=2，
在（0，2）上，g'（x）＞0，在（2，+∞）上，g'（x）＜0，
∴g（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）上单调递减，
∴g（x）_max=g（2）=ln2+a，
而$g（1）=a+\frac{1}{2}，g（3）=a+ln3-\frac{1}{2}$，又$ln3-\frac{1}{2}＞\frac{1}{2}$，
∴g（3）＞g（1），故使得$f（{x_0}）+\frac{x_0}{2}+a＞0$成立的两个整数x₀应当为2，3；
依题意得$\left\{\begin{array}{l}g（1）≤0\\ g（3）＞0\\ g（4）≤0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}a+\frac{1}{2}≤0\\ a+ln3-\frac{1}{2}＞0\\ a+ln4-1≤0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a≤-\frac{1}{2}\\ a＞\frac{1}{2}-ln3\\ a≤1-ln4\end{array}\right.$，
∵$1-ln4-（-\frac{1}{2}）=\frac{3}{2}-ln4=ln（\sqrt{\frac{e^3}{16}}）＞0$，
且$-\frac{1}{2}-（\frac{1}{2}-ln3）=-1+ln3＞0$，
∴$\frac{1}{2}-ln3＜a≤-\frac{1}{2}$，
∴实数a的取值范围为$（{\frac{1}{2}-ln3，-\frac{1}{2}}]$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．