Question

15．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$cos（$\frac{π}{4}$+θ）．
（I）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于M，N两点，求|MN|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直线l的参数方程消去参数t，得直线l的直角坐标方程为$\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}$=0；曲线C的极坐标方程l转化为ρ²=2ρcosθ-2ρsinθ，由此能求出曲线C的直角坐标方程．
（Ⅱ）曲线C是以C（1，-1）为圆心，以r=$\sqrt{2}$为半径的圆，求出圆心C（1，-1）到直线l的距离d，由|MN|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$，能求出结果．

解答 解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），
∴消去参数t，得直线l的直角坐标方程为$\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}$=0．
∵曲线C的极坐标方程为ρ=2$\sqrt{2}$cos（$\frac{π}{4}$+θ）．
即$ρ=2\sqrt{2}（cos\frac{π}{4}cosθ-sin\frac{π}{4}sinθ）$=2cosθ-2sinθ，
即ρ²=2ρcosθ-2ρsinθ，
∴曲线C的直角坐标方程为x²+y²=2x-2y，即（x-1）²+（y+1）²=2．
（Ⅱ）曲线C是以C（1，-1）为圆心，以r=$\sqrt{2}$为半径的圆，
圆心C（1，-1）到直线l的距离d=$\frac{|\sqrt{3}+1-\sqrt{3}|}{\sqrt{3+1}}$=$\frac{1}{2}$，
∵直线l与曲线C相交于M，N两点，
∴|MN|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=2$\sqrt{2-\frac{1}{4}}$=$\sqrt{7}$．

点评 本题考查直线的普通坐标方程、曲线的直角坐标方程的求法，考查弦长的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．