Question

在平面直角坐标系xOy中，已知点A在椭圆

x2

25

+

y2

9

=1上，点P满足

AP

=（λ-1）

OA

（λ∈R），且

OA

•

OP

=72，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据向量共线定理可得|

OA

||

OP

|=72，设A（x，y）、PB为点A在x轴的投影，求出OP在x轴上的投影长度为|

OP

|cosθ，再利用基本不等式求最值，可得结论．

解答： 解：∵

AP

=（λ-1）

OA

，∴

OP

=λ

OA

，则O，P，A三点共线，
∵

OA

•

OP

=72，∴|

OA

||

OP

|=72，
设OP与x轴夹角为θ，设A（x，y），B为点A在x轴的投影，
则OP在x轴上的投影长度为|

OP

|cosθ=

72| OB |

| OA |2

=72×

|x|

x2+y2

=72×

1

16 25 |x|+ 9 |x|

≤72×

1

2 16×9 25

=15．
当且仅当|x|=

15

4

时等号成立．
则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为15．
故答案为：15．

点评：本题已知椭圆上的动点满足的条件，求线段OP在x轴上的投影长度的最大值．着重考查了向量的数量积及其运算性质、向量的坐标运算公式、基本不等式与椭圆的简单几何性质等知识，属于中档题．