Question

已知动圆C经过点F（0，1），且与直线y=-1相切，若直线3x-4y+20=0与圆C有公共点，则圆C的面积的最小为

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：根据由于圆经过点F（0，1）且与直线y=-1相切，所以圆心C到点F与到直线y=-1的距离相等，由抛物线的定义知点C的轨迹方程为x²=4y，根据点、直线间的距离公式列出方程求r的最值来求解．

解答： 解：圆C的面积的最小，圆C半径r最小才行．
设圆C：（x-a）²+（y-b）²=r²，
（0-a）²+（1-b）²=r²，
r=b+1，
联立解得b=

a2

4

，

|3a-4b+20|

5

≤r，
r≥

|3a-4b+20|

5

=

|-a2+3a+20|

5

，
当C（a，b）与O（0，0）在3x-4y+20＞0区域内时，

a2

4

+1=

-a2+3a+20

5

，
解得a≤-2，或a≥

10

3

，
当a=-2时，b=1，r=2，当a=

10

3

时，b=

25

9

，r＞2 不符，舍．
∴圆C的面积的最小为S=4π．
故答案为：4π．

点评：本题考查圆的面积的最小值的求法，是中档题，解题时要注意点与圆、线与圆的位置关系在求圆的方程中的应用．