Question

17．如图，已知四边形ABCD满足AD∥BC，BA=AD=DC=$\frac{1}{2}$BC=a，E是
BC的中点，将△BAE沿AE折成△B₁AE，使面B₁AE⊥面AECD，F为B₁D的中点．
（1）证明：AE⊥B₁D；
（2）求二面角F-AC-B₁的余弦值．

Answer 1

分析 （1）作辅助线利用线面垂直证明AE⊥B₁D；
（2）建立合理的坐标系求出坐标利用两个面的法向量求得余弦值

解答 （1）证明：取AE的中点M，连接MB₁，MD，则AE⊥MB₁，AE⊥MD，所以AE⊥面MDB₁，则AE⊥B₁D--------------------（4分）

（2）解：分别以ME，MD，MB₁为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则$E（\frac{a}{2}，0，0）$，$C（a，\frac{{\sqrt{3}}}{2}a，0）$$A（-\frac{a}{2}，0，0）$，$D（0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}a，0）$，${B_1}（0，0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}a）$，$F（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{4}a，\frac{{\sqrt{3}}}{4}a}）$，$\overrightarrow{AF}=（{\frac{a}{2}，\frac{{\sqrt{3}a}}{4}，\frac{{\sqrt{3}a}}{4}}），\overrightarrow{AC}=（{\frac{3a}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}a，0}），\overrightarrow{A{B_1}}=（{\frac{a}{2}，0，\frac{{\sqrt{3}a}}{2}}）$，
设面ACF的法向量为$\overrightarrow u=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow u•\overrightarrow{AC}=0\\ \overrightarrow u•\overrightarrow{AF}=0\end{array}\right.$有$\left\{\begin{array}{l}\frac{3}{2}ax+\frac{{\sqrt{3}}}{2}ay=0\\ \frac{a}{2}x+\frac{{\sqrt{3}a}}{4}y+\frac{{\sqrt{3}a}}{4}z=0\end{array}\right.$令x=1$\overrightarrow{u}=（1，-\sqrt{3}，\frac{\sqrt{3}}{3}）$-------（7分）
设B₁AC的法向量$\overrightarrow{v}=（{x}_{2}，{y}_{2}，{z}_{2}）$，$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{u}•\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}}\\{\overrightarrow{u}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=\overrightarrow{0}}\end{array}\right.$有$\left\{\begin{array}{l}\frac{3a}{2}{x_2}+\frac{{\sqrt{3}a}}{2}{y_2}=0\\ \frac{a}{2}{x_2}+\frac{{\sqrt{3}a}}{2}{z_2}=0\end{array}\right.$令x₂=1，$\overrightarrow v=（1，-\sqrt{3}，-\frac{{\sqrt{3}}}{3}）$，--------------------------------（9分）
所以$cos＜\overrightarrow u，\overrightarrow v＞=\frac{{1+3-\frac{1}{3}}}{{\sqrt{1+3+\frac{1}{3}}×\sqrt{1+3+\frac{1}{3}}}}=\frac{11}{13}$，
二面角F-AC-B₁为锐角，故二面角F-AC-B1的余弦值为$\frac{11}{13}$．-------------（12分）

点评 本题考查利用线面垂直的性质定理证明线线垂直的方法和利用建立坐标系求得二面角的余弦值，属中档题，高考常考题型．