Question

5．如图，一山顶有一信号塔CD（CD所在的直线与地平面垂直），在山脚A处测得塔尖C的仰角为α，沿倾斜角为θ的山坡向上前进l米后到达B处，测得C的仰角为β．
（1）求BC的长；
（2）若l=24，α=45°，β=75°，θ=30°，求信号塔CD的高度．

Answer 1

分析 （1）直接利用正弦定理列出关系式即可．
（2）通过关系式，利用正弦定理化简求解即可．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）在△ABC中，∠CAB=α-θ，∠ABC=π-（β-θ），∠ACB=β-α，
由正弦定理，$BC=\frac{sin（α-θ）}{sin（β-α）}l$．（6分）
（2）由（1）及条件知，$BC=\frac{sin（α-θ）}{sin（β-α）}l=12（\sqrt{6}-\sqrt{2}）$，∠BCD=90°-β=15°，∠CBD=β-θ=45°，∠BDC=120°，由正弦定理得，$CD=\frac{sin45°}{sin120°}•BC=24-8\sqrt{3}$．
（12分）

点评 本小题主要考查利用解三角形的思想解决实际问题，对考生的抽象概括能力和运算求解能力，化归与转化能力提出一定要求．