Question

20．已知直线l：x-y+1=0与抛物线C：x²=2y交于A，B两点，点P为直线l上一动点，M，N是抛物线C上两个动点，若$\overrightarrow{MN}∥\overrightarrow{AB}$，$|\overrightarrow{MN}|＜|\overrightarrow{AB}|$，则△PMN的面积的最大值为1．

Answer 1

分析 设MN：x-y+c=0（-$\frac{1}{2}$＜c＜1），求出P到MN的距离，|MN|，可得三角形的面积，再用导数法求解即可．

解答 解：设MN：x-y+c=0（-$\frac{1}{2}$＜c＜1），则P到MN的距离为$\frac{|c-1|}{\sqrt{2}}$，
x-y+c=0与x²=2y联立，可得x²-2x-2c=0，∴x=1±$\sqrt{2c+1}$，
∴|MN|=$\sqrt{2}•$2$\sqrt{2c+1}$，
∴△PMN的面积=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{2}•$2$\sqrt{2c+1}$•$\frac{|c-1|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{（2c+1）（c-1）^{2}}$
令y=（2c+1）（c-1）²，∴y′=6c（c-1）
∴（-$\frac{1}{2}$，0），y′＞0，（0，1）上，y′＜0
∴c=0时，y取得最大值1，
∴△PMN的面积的最大值为1．
故答案为：1．

点评 本题考查三角形面积的计算，考查直线与抛物线的位置关系，考查导数知识的运用，确定三角形的面积是关键．