Question

【题目】如图所示，在四棱锥中，底面为菱形，底面，点是上的一个动点，，.

（1）当时，求证：；

（2）当平面时，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见证明；（2）

【解析】

(1)由已知可得PA可证平面，所以，可证平面，从而得到证明；（2）连接交于，当平面时，，以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.求平面和平面PBD的法向量，利用两个法向量的数量积计算即可得结果.

（1）因为底面，平面，

所以

又为菱形，连接交于，所以.

又因为，平面，平面，

所以平面

又因为平面，所以，又因为

，平面，

平面，所以平面，又因为平面

所以.

（2）法一：因为平面，平面，

平面平面，

从而，

平面，又因为.以为原点，

分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.

设，，，，

设平面的法向量为

因为，，

由，，得，

令，则，.

设平面的法向量为，因为平面，

可设，

设二面角的平面角为，由图可知为锐角，从而

法二：因为在平面中，在平面中，，

从而为二面角的平面角，