Question

4．已知$\overrightarrow a=（1，2），\overrightarrow b=（-3，4），\overrightarrow c=\overrightarrow a+λ\overrightarrow b（λ∈R）$．
（1）λ何值时，$|\overrightarrow c|$最小？此时$\overrightarrow c$与$\overrightarrow b$的位置关系如何？
（2）λ何值时，$\overrightarrow c$与$\overrightarrow a$的夹角的余弦值最大？此时$\overrightarrow c$与$\overrightarrow a$的位置关系如何？

Answer 1

分析 （1）可求得$\overrightarrow{c}=（1-3λ，2+4λ）$，从而得到${\overrightarrow{c}}^{2}=25{λ}^{2}+10λ+5$，配方即可求出$λ=-\frac{1}{5}$时$|\overrightarrow{c}|$最小，并判断出此时$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow{b}$；
（2）根据向量夹角的范围及余弦函数的最大值便可得出$cos＜\overrightarrow{c}，\overrightarrow{a}＞=\frac{5（λ+1）}{\sqrt{5}\sqrt{25{λ}^{2}+10λ+5}}=1$，从而求得λ=0，即得出λ=0时，$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{a}$夹角的余弦值最大，并得出此时$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}$．

解答 解：（1）$\overrightarrow{c}=（1，2）+λ（-3，4）=（1-3λ，2+4λ）$；
∴${\overrightarrow{c}}^{2}=（1-3λ）^{2}+（2+4λ）^{2}$
=25λ²+10λ+5
=$25（λ+\frac{1}{5}）^{2}+4$；
∴$λ=-\frac{1}{5}$时，${\overrightarrow{c}}^{2}$最小，$|\overrightarrow{c}|$最小；
此时，$\overrightarrow{c}=（\frac{8}{5}，\frac{6}{5}）$；
∴$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{b}=-\frac{24}{5}+\frac{24}{5}=0$；
∴$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow{b}$；
（2）$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{a}$的夹角的余弦值最大为1，即$cos＜\overrightarrow{c}，\overrightarrow{a}＞=\frac{\overrightarrow{c}•\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{c}||\overrightarrow{a}|}=\frac{5（λ+1）}{\sqrt{5}\sqrt{25{λ}^{2}+10λ+5}}=1$；
解得λ=0；
∴λ=0时，$\overrightarrow{c}$与$\overrightarrow{a}$夹角的余弦值最大，此时$\overrightarrow{c}=（1，2）=\overrightarrow{a}$．

点评 考查向量坐标的加法和数乘运算，向量坐标的数量积运算，配方求二次函数最值的方法，向量垂直的充要条件，向量夹角的余弦公式，向量夹角的范围．