Question

已知函数f（x）=

1

3

ax³+

1

2

ax²-2ax+2a+1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：先求导函数，利用导数求函数的最值，利用最值异号可以求解．

解答： 解：∵f′（x）=ax²+ax-2a=a（x-1）（x+2）．
若a＜0，
则当x＜-2或x＞1时，f′（x）＜0，
当-2＜x＜1时，f′（x）＞0，
从而有f（-2）＜0，且f（1）＞0，
即：

-8a+24a+3＜0 1 3 a+ 1 2 a+1＞0

，
∴-

6

5

＜a＜-

3

16

，
若a＞0，
则当x＜-2或x＞1时，f′（x）＞0，
当-2＜x＜1时，f′（x）＜0，
从而有f（-2）＞0，且f（1）＜0，无解，
综合以上：-

6

5

＜a＜-

3

16

；
故答案为：（-

6

5

，-

3

16

）．

点评：本题主要考查三次函数的图象，利用导数求函数的最值可以解决．