Question

已知函数f₁（x）=-ax²，f₂（x）=x³+x²，f（x）=f₁（x）+f₂（x），设f（x）的导函数为f′（x），若不等式f₁（x）＜f′（x）＜f₂（x）在区间（1，+∞）上恒成立，则a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,导数的运算

专题：计算题,导数的综合应用

分析：f₁（x）＜f′（x）＜f₂（x）在区间（1，+∞）上恒成立，即-ax²＜3x²+2（1-a）x＜x³+x²恒成立，-ax²＜3x²+2（1-a）x可化为（a+3）x+2（1-a）＞0，由一次函数的性质可求a的范围；3x²+2（1-a）x＜x³+x²可化为2a＞-x²+2x+2，由二次函数的性质求出函数的最值即可．

解答： 解：f（x）=-ax²+x³+x²=x³+（1-a）x²，f′（x）=3x²+2（1-a）x，
f₁（x）＜f′（x）＜f₂（x）在区间（1，+∞）上恒成立，即-ax²＜3x²+2（1-a）x＜x³+x²恒成立，
-ax²＜3x²+2（1-a）x，可化为（a+3）x+2（1-a）＞0，
∴

a+3≥0 a+3+2(1-a)≥0

，解得-3≤a≤5①；
3x²+2（1-a）x＜x³+x²可化为2a＞-x²+2x+2，
而-x²+2x+2=-（x-1）²+3＜3，
∴2a≥3，即a≥

3

2

②，
由①②可得

3

2

≤a≤5，
∴实数a的取值范围是[

3

2

，5]．
故答案为：[

3

2

，5]．

点评：该题考查导数的运算、函数恒成立，考查不等式的求解，考查学生的转化能力．