Question

14．在△ABC中，A，B，C分别为a，b，c边所对的角，且$cosA=\frac{4}{5}$．
（I）求${sin^2}\frac{B+C}{2}+cos2A$的值；
（Ⅱ）若a=2，求△ABC的面积S的最大值．

Answer 1

分析 （1）由二倍角公式得${sin^2}\frac{B+C}{2}+cos2A$=$\frac{1+2cosA}{2}+2co{s}^{2}A-1$，由此能求出结果．
（2）由$cosA=\frac{4}{5}$，得$sinA=\frac{3}{5}$，从而${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{3}{10}bc$，a=2，由余弦定理得b²+c²-2bccosA=4，由此能求出当b=c时，△ABC的面积S的最大值为3．

解答 解：（1）∵在△ABC中，A，B，C分别为a，b，c边所对的角，且$cosA=\frac{4}{5}$．
∴$si{n^2}（\frac{B+C}{2}）+cos2A=\frac{1-cos（B+C）}{2}+cos2A$
=$\frac{1+cosA}{2}+2co{s^2}A-1=\frac{59}{50}$…（6分）
（2）∵a=2，$cosA=\frac{4}{5}$，∴$sinA=\frac{3}{5}$，
∵${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{3}{10}bc$，a=2，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即b²+c²-2bccosA=4，
∴$\frac{8}{5}bc+4={b^2}+{c^2}≥2bc\;，\;bc≤10$，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA=\frac{3}{10}bc≤3$，…（13分）
 当且仅当b=c时，取得最大值，
∴当b=c时，△ABC的面积S的最大值为3．

点评 本题考查三角形函数值的求法，考查三角形的面积的最大值的求法，考查二倍角公式、同角三角函数恒等式、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．