Question

9．已知圆内接四边形ABCD，延长CD、BA交于E，且CD=AE，CE=12，EB=24，DA⊥EB，则AC=4$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 设CD=a，由圆内接四边形的对角互补，可得∠DCB=90°，运用圆的割线定理和三角形的余弦定理，即可得到a和AC的值．

解答 解：设CD=a，由题意AE=CD=a，
在圆内接四边形ABCD中，∠DAB+∠DCB=180°，
由DA⊥EB，可得∠DCB=90°，
在直角三角形BCE中，CE=12，EB=24，
可得cos∠CEB=$\frac{CE}{BE}$=$\frac{1}{2}$，
再在直角三角形DAE中，可得DE=$\frac{AE}{cos∠DEA}$=$\frac{a}{\frac{1}{2}}$=2a，
由圆的割线定理可得，ED•EC=EA•EB，
即有2a•3a=a•24，
解得a=4，
则EC=12，EA=4，
在△ACE中，AC²=AE²+CE²-2AE•CE•cos∠CEB
=16+144-2×4×12×$\frac{1}{2}$=112，
可得AC=4$\sqrt{7}$．
故答案为：4$\sqrt{7}$．

点评 本题考查圆内接四边形的对角互补和圆的割线定理的运用，考查三角形的余弦定理，以及运算能力和推理能力，属于中档题．