Question

已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，g（x）≠0，f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），f（x）=a^xg（x），

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

10

3

，则

f(2)

g(2)

=（　　）

• A、a²
• B、

  1

  a2

• C、9
• D、

  1

  9

Answer 1

考点：函数的单调性与导数的关系

专题：导数的概念及应用

分析：根据函数的单调性和导数之间的关系求出a的值，即可得到结论．

解答： 解：∵f（x）=a^xg（x），
∴

f(x)

g(x)

=ax，
∵f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），
∴[

f(x)

g(x)

]′=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

g2(x)

＜0，
即函数

f(x)

g(x)

=ax，单调递减，即0＜a＜1．
又

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

10

3

，
则a+

1

a

=

10

3

，解得a=

1

3

或a=3（舍去）．
即

f(x)

g(x)

=(

1

3

)x，
∴

f(2)

g(2)

=(

1

3

)2=

1

9

，
故选：D．

点评：本题主要考查指数函数的性质，利用导数研究函数的单调性，求出a的值是解决本题的关键．