Question

10．已知向量$|{\overrightarrow a}|=1，|{\overrightarrow b}|=2$．
（Ⅰ）若$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角为$\frac{π}{3}$，求$|{\overrightarrow a+2\overrightarrow b}|$；
（Ⅱ）若$（2\overrightarrow a-\overrightarrow b）•（3\overrightarrow a+\overrightarrow b）=3$，求$\overrightarrow a$与$\overrightarrow b$的夹角．

Answer 1

分析 （I）先计算$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，再计算（$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$）²，开方即可得出答案；
（II）将$（2\overrightarrow a-\overrightarrow b）•（3\overrightarrow a+\overrightarrow b）=3$展开即可得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，代入夹角公式求出答案．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1×2×cos$\frac{π}{3}$=1；
∴（$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$）²=${\overrightarrow{a}}^{2}$+4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+4${\overrightarrow{b}}^{2}$=1+4+16=21，
∴|$\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{21}$．
（Ⅱ）∵（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（3$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=6${\overrightarrow{a}}^{2}$-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-${\overrightarrow{b}}^{2}$=2-$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=3，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-1，
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=-$\frac{1}{2}$，
又∵0≤cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞≤π
∴$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于基础题．