Question

19．向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$满足$|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow b}|=1，\overrightarrow a•\overrightarrow b=-\frac{1}{2}，\left?{\overrightarrow a-\overrightarrow c，\overrightarrow b-\overrightarrow c}\right＞={60^0}$，则$\overrightarrow c$的模长的最大值为（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 计算$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角，得出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}，\overrightarrow{c}$的起点和终点共圆，则外接圆的直径即为|$\overrightarrow{c}$|的最大值．

解答 解：设$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，
则OA=OB=1，
∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1×1×cos∠AOB=-$\frac{1}{2}$，∴∠AOB=120°，
∵＜$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$＞=∠BCA=60°，
∴O，A，B，C四点共圆，
设△AOB的外接圆半径为r，则2r=$\frac{OA}{sin∠OBA}$=2，
∴OC的最大值为2r=2．
故选：A．

点评 本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．