Question

20．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，点P在双曲线的右支上，若|PF₁|-|PF₂|=b，且双曲线的焦距为2$\sqrt{5}$，则该双曲线方程为（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{{y}^{2}}{2}$=1
• C． x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{y}^{2}}{3}$=1

Answer 1

分析 由题意可得c=$\sqrt{5}$，即a²+b²=5，运用双曲线的定义，可得b=2a，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程．

解答 解：由双曲线的焦距为2$\sqrt{5}$，
即有2c=2$\sqrt{5}$，可得c=$\sqrt{5}$，即a²+b²=5，
由|PF₁|-|PF₂|=b，及双曲线定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
即为2a=b，
即4a²=b²，
解得a=1，b=2，
则双曲线的方程为x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用双曲线的定义和焦距、基本量的关系，考查运算能力，属于基础题．