Question

8．设等差数列{a_n}前n项和为S_n，且满足a₂=2，S₅=15；等比数列{b_n}满足b₂=4，b₅=32．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q，运用等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，得到方程组，解方程可得首项和公差、公比，即可得到所求通项公式；
（2）求得a_nb_n=n•2ⁿ，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
a₂=2，S₅=15，可得a₁+d=2，5a₁+$\frac{5×4}{2}$d=15，
解得a₁=d=1，
则a_n=1+（n-1）=n；
设等比数列{b_n}的公比为q，
由b₂=4，b₅=32，可得b₁q=4，b₁q⁴=32，
解得b₁=q=2，
可得b_n=b₁q^n-1=2ⁿ；
（2）a_nb_n=n•2ⁿ，
前n项和T_n=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ，
2T_n=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹，
相减可得，-T_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹，
化简可得，T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．