Question

16．在极坐标系中，已知曲线C：ρ=asinθ（a＞0），若直线l：θ=$\frac{π}{3}$被曲线C截得的弦长为$\sqrt{3}$，求实数a的值．

Answer 1

分析 方法一：直接由$\left\{{\begin{array}{l}{ρ=asinθ}\\{θ=\frac{π}{3}}\end{array}}\right.$得$\sqrt{3}=asin\frac{π}{3}$，求出a的值即可；
方法二：化极坐标方程为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理建立方程，即可求得结论．

解答 解：方法一：由$\left\{{\begin{array}{l}{ρ=asinθ}\\{θ=\frac{π}{3}}\end{array}}\right.$得$\sqrt{3}=asin\frac{π}{3}$，∴a=2；
方法二：极坐标的极点为坐标原点，以极轴为x建立直角坐标系．
由曲线：ρ=asinθ即ρ²=aρsinθ得x²+y²-ay=0，
即${x^2}+{（y-\frac{a}{2}）^2}=\frac{a^2}{4}$．
由直线$l：θ=\frac{π}{3}$得$\sqrt{x}-y=0$，
圆心到直线的距离$d=\frac{{|{-\frac{a}{2}}|}}{{\sqrt{{1^2}+{{（\sqrt{3}）}^2}}}}=\frac{a}{4}$，
∴${（\frac{a}{4}）^2}+\frac{3}{4}=\frac{a^2}{4}$解得a=2（负舍）．

点评 本题考查了坐标系与参数方程，考查直线与圆的位置关系，属于基础题．