Question

5．已知幂函数f（x）的图象过点（2，$\frac{1}{4}$），则函数g（x）=f（x）+$\frac{{x}^{2}}{4}$的最小值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 4
• D． 6

Answer 1

分析 利用待定系数法求出幂函数f（x）的解析式，再利用基本不等式求函数g（x）的最小值．

解答 解：设幂函数f（x）=x^α的图象过点（2，$\frac{1}{4}$），
∴2^α=$\frac{1}{4}$，解得α=-2；
∴函数f（x）=x^-2，其中x≠0；
∴函数g（x）=f（x）+$\frac{{x}^{2}}{4}$
=x^-2+$\frac{{x}^{2}}{4}$
=$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{4}$≥2$\sqrt{\frac{1}{{x}^{2}}•\frac{{x}^{2}}{4}}$=1，
当且仅当x=±2时，g（x）取得最小值1．
故选：A．

点评 本题考查了求幂函数的解析式以及函数最小值的应用问题，是基础题．