Question

15．已知数列{a_n}的前n项和为S_n满足a₁=1，log₂a_n=log₂a_n+1-1，则$\frac{{{S_{20}}-{S_{17}}}}{{{a_{20}}-{a_{17}}}}$=2．

Answer 1

分析 数列{a_n}的前n项和为S_n满足a₁=1，log₂a_n=log₂a_n+1-1，可得${a}_{n}=\frac{{a}_{n+1}}{2}$，即a_n+1=2a_n，再利用等比数列的通项公式及其性质即可得出．

解答 解：数列{a_n}的前n项和为S_n满足a₁=1，log₂a_n=log₂a_n+1-1，
∴${a}_{n}=\frac{{a}_{n+1}}{2}$，即a_n+1=2a_n，
∴数列{a_n}是等比数列，公比q=2．
∴$\frac{{{S_{20}}-{S_{17}}}}{{{a_{20}}-{a_{17}}}}$=$\frac{{a}_{20}+{a}_{19}+{a}_{18}}{{a}_{20}-{a}_{17}}$=$\frac{{a}_{17}（{q}^{3}+{q}^{2}+q）}{{a}_{17}（{q}^{3}-1）}$=$\frac{{2}^{3}+{2}^{2}+2}{{2}^{3}-1}$=2．
故答案为：2．

点评 本题考查了等比数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．