Question

13．在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若2bcosB=acosC+ccosA
（1）求角B的大小；
（2）若线段BC上存在一点D，使得AD=2，且AC=$\sqrt{6}$，CD=$\sqrt{3}$-1，求S_△ABC．

Answer 1

分析 （1）由2bcosB=acosC+ccosA，利用正弦定理与两角和的正弦公式算出2sinBcosB=sin（A+C），再根据诱导公式化简可得cosB=$\frac{1}{2}$，结合B∈（0，π）可得角B的大小．
（2）由余弦定理求得cosC的值，可得C的值，利用三角形内角和公式求得A的值，再利用正弦定理求得AB的值，从而求得S_△ABC=$\frac{1}{2}$•AB•AC•sinA 的值．

解答 解：（1）∵2bcosB=acosC+ccosA，
∴根据正弦定理，可得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA，
即2sinBcosB=sin（A+C）．
又∵△ABC中，sin（A+C）=sin（180°-B）=sinB＞0
∴2sinBcosB=sinB，两边约去sinB得2cosB=1，即cosB=$\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）∵在△ACD中，AD=2，且AC=$\sqrt{6}$，CD=$\sqrt{3}$-1，
∴由余弦定理可得：cosC=$\frac{（\sqrt{6}）^{2}+（\sqrt{3}-1）^{2}-4}{2\sqrt{6}×（\sqrt{3}-1）}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴C=$\frac{π}{4}$，
∴A=π-B-C=$\frac{5π}{12}$，
由$\frac{AC}{sinB}=\frac{AB}{sinC}$，可得$\frac{\sqrt{6}}{sin\frac{π}{3}}=\frac{AB}{sin\frac{π}{4}}$，
∴AB=2，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$•AB•AC•sinA=$\frac{1}{2}$•2•$\sqrt{6}$•sin（$\frac{π}{4}+\frac{π}{6}$）=$\sqrt{6}$•（sin$\frac{π}{4}$cos$\frac{π}{6}$+cos$\frac{π}{4}$sin$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{6}$•（$\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}$）=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，三角形内角和公式，两角和的正弦公式的应用，属于中档题．