Question

11．已知集合A={x|（x+2m）（x-m+4）＜0}，其中m∈R，集合B={x|$\frac{1-x}{x+2}$＞0}．
（1）若B⊆A，求实数m的取值范围；
（2）若A∩B=∅，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简集合B，方法一、讨论A为空集和不为空集，由集合的包含关系可得m的不等式组，解不等式即可；
方法二、因为B⊆A，所以对于?x∈B={x|-2＜x＜1}，（x+2m）（x-m+4）＜0恒成立．可得m的不等式组，解不等式即可；
（2）方法一、讨论A为空集和不为空集，结合交集的定义，即可得到所求范围；
方法二、令f（x）=（x+2m）（x-m+4），结合交集的定义，可得m的不等式组，解不等式即可得到所求范围．

解答 解：（1）集合$B=\left\{{x\left|{\frac{1-x}{x+2}＞0}\right.}\right\}=\left\{{x\left|{-2＜x＜1}\right.}\right\}$，
方法一：（1）当A=∅时，$m=\frac{4}{3}$，不符合题意．
（2）当A≠∅时，$m≠\frac{4}{3}$．
①当-2m＜m-4，即$m＞\frac{4}{3}$时，A={x|-2m＜x＜m-4}，
又因为B⊆A
所以$\left\{{\begin{array}{l}{m＞\frac{4}{3}}\\{-2m≤-2}\\{m-4≥1}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{m＞\frac{4}{3}}\\{m≥1}\\{m≥5}\end{array}}\right.$，所以m≥5；
②当-2m＞m-4，即$m＜\frac{4}{3}$时，A={x|m-4＜x＜-2m}
又因为B⊆A
所以$\left\{{\begin{array}{l}{m＜\frac{4}{3}}\\{-2m≥1}\\{m-4≤-2}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{m＜\frac{4}{3}}\\{m≤-\frac{1}{2}}\\{m≤2}\end{array}}\right.$，所以$m≤-\frac{1}{2}$．
综上所述：实数m的取值范围为：m≥5或$m≤-\frac{1}{2}$．
方法二：因为B⊆A，所以对于?x∈B={x|-2＜x＜1}，（x+2m）（x-m+4）＜0恒成立．
令f（x）=（x+2m）（x-m+4）则$\left\{{\begin{array}{l}{f（1）=（2m+1）（1-m+4）≤0}\\{f（-2）=（-2+2m）（-2-m+4）≤0}\end{array}}\right.$
得$\left\{\begin{array}{l}{m≥5或n≤-\frac{1}{2}}\\{m≥2或m≤1}\end{array}\right.$，
所以实数m的取值范围为：m≥5或$m≤-\frac{1}{2}$；
（2）方法一：（1）当A=∅时，$m=\frac{4}{3}$，符合题意．            
（2）当A≠∅时，$m≠\frac{4}{3}$．
①当-2m＜m-4，即$m＞\frac{4}{3}$时，A={x|-2m＜x＜m-4}
又因为A∩B=∅
所以-2m≥1或者  m-4≤-2，
即$m≤-\frac{1}{2}$或者m≤2，
所以$\frac{4}{3}＜m≤2$；
②当-2m＞m-4，即$m＜\frac{4}{3}$时，A={x|m-4＜x＜-2m}
又因为A∩B=∅
所以m-4≥1或者-2m≤-2，
即m≥5或者m≥1，
所以$1≤m＜\frac{4}{3}$
综上所述：实数m的取值范围为：1≤m≤2．
方法（二）令f（x）=（x+2m）（x-m+4）
由A∩B=∅得
①$\left\{{\begin{array}{l}{-2m≥1}\\{m-4≥1}\end{array}}\right.$即 $\left\{{\begin{array}{l}{m≤-\frac{1}{2}}\\{m≥5}\end{array}}\right.$，所以m∈∅，
②$\left\{{\begin{array}{l}{-2m≤-2}\\{m-4≤-2}\end{array}}\right.$即 $\left\{{\begin{array}{l}{m≥1}\\{m≤2}\end{array}}\right.$，所以1≤m≤2，
综上所述：实数m的取值范围为：1≤m≤2．

点评 本题考查集合的运算，主要是交集的定义和集合的包含关系，考查分类讨论思想方法和转化思想的运用，考查运算能力，属于中档题．