Question

1．已知数列{a_n}的前n项和S_n=n（n+1），数列{b_n}对n∈N^*，有S₁b₁+S₂b₂+…+S_nb_n=a_n，求b₁+b₂+…+b₂₀₁₇=$\frac{2017}{1009}$．

Answer 1

分析 数列{a_n}的前n项和S_n=n（n+1），n≥2时，a_n=S_n-S_n-1．当n=1时，a₁=S₁=2，即可得出a_n．数列{b_n}对n∈N^*，有S₁b₁+S₂b₂+…+S_nb_n=a_n，n≥2时，S₁b₁+S₂b₂+…+S_n-1b_n-1=a_n-1，可得S_nb_n=a_n-a_n-1=2，b_n=$\frac{2}{n（n+1）}$，再利用裂项求和方法即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}的前n项和S_n=n（n+1），
∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n（n+1）-n（n-1）=2n．
当n=1时，a₁=S₁=2，对于上式也成立．
数列{b_n}对n∈N^*，有S₁b₁+S₂b₂+…+S_nb_n=a_n，
∴n≥2时，S₁b₁+S₂b₂+…+S_n-1b_n-1=a_n-1，
∴S_nb_n=a_n-a_n-1=2，
∴b_n=$\frac{2}{n（n+1）}$，
n=1时，a₁b₁=a₁，解得b₁=1，对于上式也成立．
∴b_n=$\frac{2}{n（n+1）}$=2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴b₁+b₂+…+b_n=2$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=2$（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{2n}{n+1}$．
∴b₁+b₂+…+b₂₀₁₇=$\frac{2×2017}{2017+1}$=$\frac{2017}{1009}$．
故答案为：$\frac{2017}{1009}$．

点评 本题考查了数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．