Question

3．已知a_n=2n-1（n∈N^*），则$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{9}{a}_{10}}$=$\frac{9}{19}$．

Answer 1

分析 $\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．利用裂项求和方法即可得出．

解答 解：$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
∴$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{9}{a}_{10}}$=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2×9-1}-\frac{1}{2×9+1}）]$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{19}）$=$\frac{9}{19}$．
故答案为：$\frac{9}{19}$．

点评 本题考查了裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．