Question

18．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合．曲线${C_1}：\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{2}t\\ y=-\sqrt{2}t\end{array}\right.$（t为参数），曲线C₂的极坐标方程为ρ=ρcos2θ+8cosθ．
（Ⅰ）将曲线C₁，C₂分别化为普通方程、直角坐标方程，并说明表示什么曲线；
（Ⅱ）设F（1，0），曲线C₁与曲线C₂相交于不同的两点A，B，求|AF|+|BF|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲线C₁的参数方程消去参数t，化为普通方程得y=-x+1，表示一条直线；由cos2θ=1-2sin²θ，得曲线C₂的方程可变形为ρ²sin²θ=4ρcosθ，化为直角坐标方程可得y²=4x，曲线C₂表示顶点在原点，焦点为（1，0）的抛物线．
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}y=-x+1\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，得x²-6x+1=0，由题意知F（1，0）为曲线C₂的焦点，由此能求出|AF|+|BF|的值．

解答 解：（Ⅰ）曲线${C_1}：\left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{2}t\\ y=-\sqrt{2}t\end{array}\right.$（t为参数），
将曲线C₁的参数方程消去参数t，
化为普通方程得y=-x+1，表示一条直线．
曲线C₂的极坐标方程为ρ=ρcos2θ+8cosθ．
由cos2θ=1-2sin²θ，得曲线C₂的方程可变形为ρ²sin²θ=4ρcosθ，
化为直角坐标方程可得y²=4x，曲线C₂表示顶点在原点，焦点为（1，0）的抛物线…（5分）
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}y=-x+1\\{y^2}=4x\end{array}\right.$，消去y，可得x²-6x+1=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=6，
由题意知F（1，0）为曲线C₂的焦点
所以|AF|+|BF|=（x₁+1）+（x₂+1）=x₁+x₂+2=8…（10分）

点评 本题考查直线的普通方程、曲线的直角坐标方程的求法，考查两线段和的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．