Question

【题目】设函数．

（1）当时，求函数在点处的切线方程；

（2）若函数的图象与轴交于两点，且，求的取值范围；

（3）在（2）的条件下，证明：为函数的导函数）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

（1）求出切线的斜率，利用点斜式写出直线方程；

（2）分析函数的单调性，只有当函数不单调时，函数图象才可能与x轴有两个交点，然后再利用零点存在定理证明两个不同交点的存在性；

（3）由（2）得，相减得，用表示，通过研究单调性可得，再根据单调递增，可得，从而得证.

解：（1）当时，，

则， ，

，

所以在点处的切线方程为，即.

（2）因为，

所以，

若时，则，则函数是单调递增函数，与x轴最多一个交点，不满足题意；

若时，令，则，

当时，，函数是单调递减，

当时，，函数是单调递增，

于是当时，函数取得极小值，

因为函数的图象与轴交于两点，

所以，即，

此时存在，，

存在，

，

故由在及上的单调性及曲线连续性可得，

当时，函数的图象与轴交于两点.

（3）由（2）得，

两式相减得，，

解得：，

令，

则，

设

则，

所以在上单调递减，

则有，而，

所以，

由（2）知，均为正数，

所以有，

因为单调递增，

所以，

所以，

故.