【题目】设函数.
(1)当时,求函数
在点
处的切线方程;
(2)若函数的图象与
轴交于
两点,且
,求
的取值范围;
(3)在(2)的条件下,证明:为函数
的导函数).
【答案】(1);(2)
;(3)证明见解析.
【解析】
(1)求出切线的斜率,利用点斜式写出直线方程;
(2)分析函数的单调性,只有当函数不单调时,函数图象才可能与x轴有两个交点,然后再利用零点存在定理证明两个不同交点的存在性;
(3)由(2)得,相减得
,用
表示
,通过研究单调性可得
,再根据
单调递增,可得
,从而得证.
解:(1)当时,
,
则,
,
,
所以在点处的切线方程为
,即
.
(2)因为,
所以,
若时,则
,则函数
是单调递增函数,与x轴最多一个交点,不满足题意;
若时,令
,则
,
当时,
,函数
是单调递减,
当时,
,函数
是单调递增,
于是当时,函数
取得极小值,
因为函数的图象与
轴交于
两点,
所以,即
,
此时存在,
,
存在,
,
故由在
及
上的单调性及曲线连续性可得,
当时,函数
的图象与
轴交于
两点.
(3)由(2)得,
两式相减得,,
解得:,
令,
则,
设
则,
所以在
上单调递减,
则有,而
,
所以,
由(2)知,均为正数,
所以有,
因为单调递增,
所以,
所以,
故.
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【题目】已知曲线上动点
与定点
的距离和它到定直线
的距离的比是常数
,若过
的动直线
与曲线
相交于
两点
(1)说明曲线的形状,并写出其标准方程;
(2)是否存在与点不同的定点
,使得
恒成立?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由
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【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),以原点
为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的普通方程和
的直角坐标方程;
(2)已知曲线的极坐标方程为
,
,
,点
是曲线
与
的交点,点
是曲线
与
的交点,且
,
均异于原点
,且
,求实数
的值.
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【题目】如图,在三棱柱中,侧面
底面ABC,
,且
,O为AC中点.
(1)求直线与平面
所成角的正弦值;
(2)在上是否存在一点E,使得
平面
,若不存在,说明理由;若存在,确定点E的位置.
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【题目】已知双曲线C:,则( )
A.双曲线C的离心率等于半焦距的长
B.双曲线与双曲线C有相同的渐近线
C.双曲线C的一条准线被圆x2+y2=1截得的弦长为
D.直线y=kx+b(k,bR)与双曲线C的公共点个数只可能为0,1,2
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【题目】汽车在行驶中,由于惯性,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止,一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.在一个限速为的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,突然发现有危险情况,同时紧急刹车,但还是发生了交通事故.事后现场勘查,测得甲车的刹车距离略超过
,乙车的刹车距离略超过
.已知甲、乙两种车型的刹车距离
与车速
之间的关系分别为:
,
.根据以上信息判断:在这起交通事故中,应负主要责任的可能是_______________车,理由是__________________________.
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