【题目】如图,在三棱柱中,侧面
底面ABC,
,且
,O为AC中点.
(1)求直线与平面
所成角的正弦值;
(2)在上是否存在一点E,使得
平面
,若不存在,说明理由;若存在,确定点E的位置.
【答案】(1).;(2)E为
的中点.
【解析】
(1)由已知中,O为AC中点,根据等腰三角形“三线合一”的性质,可得
,又由已知中侧面
底面ABC,故
平面ABC,以O为原点,OB,OC,
所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,分别求出直线
的方向向量与平面
的法向量,代入空间向量夹角公式,即可得到直线
与平面
所成角的正弦值;
(2)设出E点的坐标,根据平面
,则OE的方向向量与平面
的法向量垂直,数量积为零,我们可以求出E点坐标,进而确定E点的位置.
(1)如图,因为,且O为AC的中点,所以
平面
平面
,交线为
,且
平面
,所以
平面
.
以O为原点,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.由题意可知,
又
所以得:
则有:
设平面的一个法向量为
,则有
,
令,得
所以.
因为直线与平面
所成角
和向量
与
所成锐角互余,
所以.
(2)设
即,得
所以得
令平面
,得
,
即得
即存在这样的点E,E为
的中点.
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【题目】中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关……”其大意为:“某人从距离关口三百七十八里处出发,第一天走得轻快有力,从第二天起,由于脚痛,每天走的路程为前一天的一半,共走了六天到达关口……” 那么该人第一天走的路程为______________
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【题目】随着移动互联网的发展,与餐饮美食相关的手机APP软件层出不穷.现从某市使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家,对它们的“平均送达时间”进行统计,得到频率分布直方图如下.
(1)已知抽取的100个使用A款订餐软件的商家中,甲商家的“平均送达时间”为18分钟。现从使用A款订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家中随机抽取3个商家进行市场调研,求甲商家被抽到的概率;
(2)试估计该市使用A款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数;
(3)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据,从A和B两款订餐软件中选择一款订餐,你会选择哪款?
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【题目】某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如表:
组号 | 分组 | 频率 |
第1组 | ||
第2组 | ||
第3组 | ||
第4组 | ||
第5组 |
求出频率分布表中
处应填写的数据,并完成如图所示的频率分布直方图;
根据直方图估计这次自主招生考试笔试成绩的平均数和中位数
结果都保留两位小数
.
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【题目】设函数.
(1)当时,求函数
在点
处的切线方程;
(2)若函数的图象与
轴交于
两点,且
,求
的取值范围;
(3)在(2)的条件下,证明:为函数
的导函数).
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【题目】已知椭圆经过点
.离心率
.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若M,N分别是椭圆长轴的左、右端点,动点D满足,连接MD交椭圆于点Q.问:x轴上是否存在异于点M的定点G,使得以QD为直径的圆恒过直线QN,GD的交点?若存在,求出点G的坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】设等差数列的公差d大于0,前n项的和为
.已知
=18,
,
,
成等比数列.
(1)求的通项公式;
(2)若对任意的,都有k(
+18)≥
恒成立,求实数k的取值范围;
(3)设(
).若s,t
,s>t>1,且
,求s,t的值.
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【题目】下列选项中,p是q的必要不充分条件的是( )
A.;
方程
的曲线是椭圆
B.;
对
不等式
恒成立
C.设是首项为正数的等比数列,
公比小于0;
对任意的正整数n,
D.已知空间向量,
,
;
向量a与b的夹角是
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